\section{Les mathématiques}

\subsection{Le mode mathématiques}

\begin{frame}[fragile]{\secname}{\subsecname}
Faire des mathématiques sous \LaTeX{} : intégration native avec \LaTeX{}\dots{} \\[\baselineskip]

Faire \textbf{sereinement} des mathématiques sous \LaTeX{} : 3 packages pour gérer 95 \% des symboles et formules mathématiques ! (espacement, alignement, matrices, nouvelles commandes, etc.) \\[\baselineskip]

\hspace*{\stretch{1}} \cverb?amsmath? \hspace*{\stretch{1}} \cverb?amsfonts? \hspace*{\stretch{1}} \cverb?amssymb? \hspace*{\stretch{1}}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{\secname}{\subsecname}
\textcolor{BrickRed}{\bfseries{}Règle de base :} écrire des mathématiques = utiliser le \og mode mathématiques \fg{}

$\Rightarrow$ signaler à \LaTeX{} qu'il s'agit d'une formule mathématique. \\[\baselineskip]

3 possibilités : \begin{enumerate}
\item écriture locale : encadrer la formule par le symbole \cverb?$? ;

\item retour à la ligne et centrage : encadrer la formule par les commandes \cverb?\[? et \cverb?\]? ;

\item numérotation : environnement \cverb?equation?. \\[\baselineskip]
\end{enumerate}

\exconc{Démonstration sous Texmaker + initiation aux 1\up{ers} symboles + subtilités du \cverb?displaystyle? !}
\end{frame}

\subsection{\'Etiquettes \& références}

\begin{frame}[fragile]{\secname}{\subsecname}
Pour l'environnement \cverb?equation?, possibilité de placer une étiquette avec la commande \cverb?\?\cverb?label{nom}?. 

Intérêt ? Pouvoir s'y référer facilement par la suite ! Utilisation des commandes \cverb?\eqref{nom}? ou \cverb?\pageref{nom}? par exemple. \\[\baselineskip]

\exconc{Application sur plusieurs équations + attention au choix de \cverb?nom? !} \\[\baselineskip]

Application d'une étiquette à d'autres environnements mathématiques comme nous le verrons par la suite.

Application aussi possible à une section dans un document, une image ou un tableau (sujets abordés en séance 3).
\end{frame}

\subsection{Délimiteurs \& matrices}

\begin{frame}{\secname}{\subsecname}
Parfois, il faut bien délimiter ses formules par des parenthèses ou des crochets. Comment avoir la bonne taille ?

\[\textcolor{red}{(\frac{a}{b})} \quad \text{\textit{vs}} \quad \textcolor{Green}{\left( \frac{a}{b} \right)}\] \\[\baselineskip]
 
$\Rightarrow$ utilisation de délimiteurs : \LaTeX{} calcule lui-même la taille nécessaire et se charge de l'affichage. Quelques règles doivent alors être respectées\dots{}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{\secname}{\subsecname}
\begin{enumerate}[label = \textbf{\color{BrickRed}Règle \no\arabic* :}, leftmargin = *]
\item Un délimiteur n'existe qu'en mode mathématiques. \\[\baselineskip]

\item \textbf{Un délimiteur entrant implique un délimiteur sortant.} \\[\baselineskip]
	
\item Un délimiteur entrant est défini par la commande \cverb?\left? suivi du délimiteur ; pour le sortant, de même avec \cverb?\right?. \\[\baselineskip]
	
\item Si tu ne veux pas afficher un délimiteur, il faut utiliser la commande \cverb?\left.? ou \cverb?\right.? (point à la fin). \\[\baselineskip]
\end{enumerate}

\exconc{Exemples d'application, ici et maintenant !}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{\secname}{\subsecname}
Création d'une matrice (tableau à $n$ lignes et $m$ colonnes) avec l'environnement \cverb?matrix?.

Séparation des colonnes avec \cverb?&? et changement de ligne avec \cverb?\\?.

\begin{center}
\begin{tabular}{rcl}
$\begin{matrix}
0 & 1 & 3 \\
2 & 1 & 5
\end{matrix}$ & $\Leftrightarrow$ & \begin{minipage}{30mm}
\begin{verbatim}
$\begin{matrix}
0 & 1 & 3 \\
2 & 1 & 5
\end{matrix}$
\end{verbatim}
\end{minipage}
\end{tabular}
\end{center}

\begin{columns}
\begin{column}{0.32\linewidth}
``Matrice à trous'' : commandes \cverb?\cdots?, \cverb?\vdots? \& \cverb?\ddots? !
\end{column}
\begin{column}{0.68\linewidth}
$V = \begin{pmatrix}
1 & \alpha_1 & \alpha_1^2 & \cdots & \alpha_1^{n-1} \\
1 & \alpha_2 & \alpha_2^2 & \cdots & \alpha_2^{n-1} \\
1 & \alpha_3 & \alpha_3^2 & \cdots & \alpha_3^{n-1} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & \alpha_m & \alpha_m^2 & \cdots & \alpha_m^{n-1}
\end{pmatrix}$

{\color{orange}+ \cverb?\renewcommand{\arraystretch}{1.3}?}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{\secname}{\subsecname}
\begin{columns}
\begin{column}{0.55\linewidth}
Différentes matrices : \begin{itemize}[label = \ding{213}]
\item sans parenthèses : \cverb?matrix? ;

\item avec \textcolor{orange}{p}arenthèses : {\color{orange}\cverb?p?}\cverb?matrix? ; 

\item avec crochets (\textit{\textcolor{orange}{b}rackets}) : {\color{orange}\cverb?b?}\cverb?matrix? ;

\item avec barre \textcolor{orange}{v}erticale : {\color{orange}\cverb?v?}\cverb?matrix? ;

\item avec double barre \textcolor{orange}{V}erticale : {\color{orange}\cverb?V?}\cverb?matrix?. \\[\baselineskip]
\end{itemize}
\end{column}
\begin{column}{0.4\linewidth}
$\begin{bmatrix}
0 & 1 & 2 \\
3 & 4 & 5 \\
6 & 7 & 8
\end{bmatrix}$ \\[\baselineskip]

$\begin{vmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 2 & \cdots & 0 \\
\vdots & 0 & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & 215
\end{vmatrix} = 215!$
\end{column}
\end{columns}

\vspace{\baselineskip}

\exconc{Rapide retour sur quelques exemples.}
\end{frame}

\subsection{Aligner des équations}

\begin{frame}[fragile]{\secname}{\subsecname}
\begin{columns}
\begin{column}[t]{0.4\linewidth}
\begin{align*}
\sum_{k=0}^n k & = 1 + \dots + n \\
	& = [\dots] \\ %&& \text{car \dots{}} \\
	& = \frac{n \times (n + 1)}{2}
\end{align*}
% Séparation propre du commentaire avec &&
\end{column}
\begin{column}[t]{0.6\linewidth}
Utilisation de l'environnement \cverb?align*? (pour annuler la numérotation automatique de toutes les équations). \\[\baselineskip]

Fonctionnement similaire à une matrice : 1 seul séparateur \cverb?&? et saut de ligne avec \cverb?\\?.
\end{column}
\end{columns}

\vspace{\baselineskip}

Référencement envisageable : utiliser l'environnement \cverb?align? puis appliquer la commande \cverb?\notag? en fin de chaque ligne où il ne faut pas un numéro.

Utilisation ensuite classique de \cverb?\?\cverb?label{nom}? et \cverb?\eqref{nom}?. \\[\baselineskip]

\exconc{Application sur des exemples + insérer du texte.}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{\secname}{\subsecname}
Cas plus complexe d'un système d'équations : passage par l'environnement \cverb?array?. Fonctionnement identique à celui d'une matrice + choix du nombre de colonnes et du positionnement du texte à l'intérieur (\cverb?l?, \cverb?c?, \cverb?r?). 

\[\left\{ \begin{array}{rcl}
x + y & = & 228 \\
x - y & = & -202
\end{array} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{rcl}
x & = & 13 \\
y & = & 215
\end{array} \right.
\]

\vspace{\baselineskip}

\exconc{Application simple puis avec un ``double \cverb?array?'' imbriqué !}
\end{frame}

\subsection{Packages bonus \& entraînement}

\begin{frame}[fragile]{\secname}{\subsecname}
Packages complémentaires : \begin{itemize}[label = \ding{118}]
\item \cverb?esvect? : pour écrire correctement les vecteurs avec la commande \cverb?\vv{AB}? + version étoilée \cverb?\vv*{e}{r}? ;

\item \cverb?mathrsfs? : commande \cverb?\mathscr{lettre}? pour varier de la commande \cverb?\mathcal{lettre}? (police différente de \cverb?lmodern?) ;

\item \cverb?stmaryrd? : d'autres symboles dont le très utile \cverb?\llbracket? -- avec son \textit{alter ego} \cverb?\rrbracket? -- pour écrire des intervalles de nombres entiers. Utilisable comme délimiteur !
\end{itemize}

\[\vv{AB} \qquad \vv{e_r} \neq \vv*{e}{r} \qquad \mathcal{C} \neq \mathscr{C} \qquad \llbracket 1\,;\,n \rrbracket \qquad \left\llbracket \begin{matrix} \alpha \\ \beta \end{matrix} \right\rrbracket\]
\end{frame}

\begin{frame}{\secname}{\subsecname}
\textcolor{orange}{Un peu d'entraînement\dots{}} \\[\baselineskip]

$\underset{x \to a}{\lim} f(x) = \underbrace{\frac{\Omega + \beta}{\pi \times \mu}}_{= 215} \quad \Leftrightarrow \quad f(x) \underset{x \to a}{\longrightarrow} \cfrac{\sqrt{167} + 13}{\alpha + \cfrac{\sqrt[13]{17} \times \varepsilon\sigma}{68 + 1}}$

$\forall p \in \llbracket 1\,;\,k \rrbracket$, $\forall x \in I$, $g^{(p)} (x) = \int_I \frac{\partial^p f}{\partial x^p} (x\,;\,t) dt$

Soit $\begin{array}[t]{cccc}
f~: & \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\
 & x & \longmapsto & \sin x
\end{array}$ et $\forall x \in \mathbb{R}, \sin x = \sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n \frac{x^{2n + 1}}{(2n + 1)!}$

Pour $k \in \llbracket 0\,;\,n \rrbracket$, posons $L_k = \prod_{\substack{j = 0 \\ j \neq k}}^n \frac{X - a_j}{a_k - a_j}$ : $L_k$ sont les polynômes d'interpolation de Lagrange.
\end{frame}

{\1
\begin{frame}[plain, noframenumbering]
\finalpage{\huge{}Merci pour ton attention ! \\[\baselineskip]

Prochaine séance : tableaux, images et gestion des erreurs sous \LaTeX{} !
}
\end{frame}
}